福西です。
先週「サッカーボールを作りたい！」という希望があったので、今回はそれを作りました。
サッカーボールは正５角形と正６角形の組み合わせで貼られた球面です。
そこで今、正５角形の枚数をx、正６角形の枚数をyとして、xとyを求めます。
正５角形は1枚につき頂点が5つあるので、x枚だと頂点は全部で5xあります。正６角形は6y。なので、もしそれら全部が球面の頂点だったとすると、5x+6yとなります。しかし実際には、面の貼り合せで頂点が重複するので、それよりも少ないことになります。
正５角形ないし正６角形を貼り合せると、一点のまわりには（2枚でも4枚でもなく）3枚の面が配置されることになります（上図）。これより１点を3重に数えていることが分かります。
よって、サッカーボールの本当の頂点の数は、
と求まります。
一方、線の方はというと、正５角形と正６角形全部の辺は5x+6yです。それを球面に貼り合せた時に、重複した回数で割ります。上図より、線を2重に数えていることが分かります。
よって、サッカーボールの本当の線の数は、
と求まります。
面は当然、
です。
これを前回の「オイラーの多面体定理」の式（点－線＋面＝2）に代入します。
すると、
となります。
（右辺の2には、実は「3次元－1」という意味があります。（球面を置いている空間の次元が3です。これが平面なら左辺は2-1=1となります。））
これを解くと、
（不思議とyの項は12-18+6=0で消え、xの項が10-15+6=1でxだけ残ります。）
yの項が消えるということは、条件を追加して考えなければyを求めることはできません。
これは授業では触れませんでしたが、実は単に立体を作るだけならば、yは任意のパラメーターで、それに応じて色々な形を取り得ます。
そこで「正５角形が隣り合わない」という条件を加えます。そうすれば、yは任意ではなくなります。さらに「回転対称」という条件を加えます。これがサッカーボールになる条件です。また後者の（球状になるための）条件を外せば、楕円形のカプセルや、細長い風船（長さがいろいろ変る）のような形もできます。
ただし正５角形については、どんな形状であっても必ず１２枚必要だというのが、上の式から出てきた結論です。
ちなみに正５角形は、筒の両端を閉じるための「ふた」として、その両端に６枚ずつ使うことになります。
下の写真で、K君が作っているこの正５角形６枚（５枚＋１枚）による形が、ちょうどその「ふた」です。（黄緑が正５角形）
今は球にいちばん近い形、サッカーボールを考えているので、筒が一番短い状態、つまり「ふた」を最短で２枚貼り合せた形になります。
するとサッカーボールは、次のような、正６角形を間に１枚挟んで、正５角形が交互に現れるパターンで（どの方向から見ても）構成されていることが分かります。
さっきはオイラーの多面体定理から、正５角形の枚数が１２だと分かりましたが、正６角形の枚数は不明でした。
そこで上の絵をもとに、サッカーボールの場合の正６角形の枚数を考えてみます。（「正５角形は隣り合わない」という条件を付加しています）
まず、赤枠で囲んだ正５角形のまわりに、正６角形は５枚あります（正５角形の辺は５つなので）。そして正５角形は１２枚ありました。もしサッカーボールに使う正６角形がこれ全部だとすると、5×12=60枚になるはずです。
しかし当然重複している面があります。
それはどうやって考えるかと言うと、上の絵で赤い点を打った正６角形に注目します。
このまわりには、正５角形が３つあります。（サッカーボールの場合、正５角形は１つ飛ばしに現れるので）
つまり、こっちで見れば、正６角形１枚のために、正５角形を３枚使っていることになります。
ということは、さっきの計算は、3重に数えていたことになります。
なので、
5×12÷3＝20。
これが正６角形の数です。
よって、サッカーボールに必要な面の数は、
正５角形１２枚、
正６角形２０枚
だと分かりました。
【補足】
実は、サッカーボールは、正２０面体から作ることができます。
ボールに使うなら、「正２０面体をもっと転がる形にしよう」という発想から、頂点をすりつぶすことを考えます。
それをしていくと、点から正５角形が現れます。（なぜなら１点には５枚の正三角形が貼り付いているから）。
そしてまわりの正三角形の様子を合わせてみると、正５角形に挟まれた部分に、正６角形が浮かび上がってきます。
（正２０面体の点を正５角形に広げていくと、正３角形の面がだんだん正６角形へと変化していきます）
さて、正２０面体の頂点の数は１２あります。なのでそのまま、それが正５角形の枚数になります。また、正２０面体の面の数は２０だったので、それがそのまま正６角形の枚数になります。
よって、正２０面体から作った立体（すなわちサッカーボール）は、
正５角形１２枚、
正６角形２０枚
だと分かりました。
サッカーボールは32面体なんですね。
（でも「正」じゃないというのがミソです）