かず６年（0424）（その１）

福西です。この日は、前回の「円」のおさらいをしてから、「分数」を取り上げました。

円は、輻射（自転車のタイヤのスポーク）状に細かく切って並べ直すと、たてが「半径」、横が「円周の半分」の長方形に直ります。そして円周は「直径×円周率」なので、それを代入すると、「円周の半分」＝「直径×円周率÷２」と表せます。つまり、円の面積とは、「半径（たて）」×「直径×円周率÷２（よこ）」となります。

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ここで、さらにもう一工夫します。いま、「÷２」という表現が出てきましたが、これを「直径」とセットにすると、「直径÷２」＝「半径」のことになります。よって、円の面積は、おなじみの公式である「半径」×「半径×円周率」となるわけです。

このような説明が自分でできることを授業で見ました。

さて、ここからが今回の授業のメインです。（以下のことは、私から一方的に説明するのではなくて、実際に生徒たちに立ち止まって考えてもらいました）

問い：0.1や0.333といった数の住んでいる国を「小数の国」、1/3や3/2といった数の住んでいる国を「分数の国」としたとき、一体どちらの国の方が広い（おおぜい住んでいる）か？

疑問：もしどちらかの国の方が広いのなら、もう片方は考える必要はないのではないか？たとえば、もし小数の国の方が広いのなら、（計算のややこしい）分数など考える必要はないのではないか？

問いに対する直感的な答は、みなさん、どのようなものでしょうか。

「小数の国の方が広い」とした人は、おそらく、小数が「無限に小さい値を表現できる」という点に注目したのではないかと思います。

一方、「分数の国の方が広い」、あるいは「同じ」とした人は、以下のようなことを考えたのではないでしょうか。

「0.1=1/10

0.01＝1/100

0.00123456789＝123456789/100000000000

・・・

このように、どんな小数でも、分数になおすことができる。だから、ここまでは小数の国と分数の国は同じ。

しかし、1/3＝1÷3を計算すると、出てくる答えは、0.3333333・・・。

もしこの「・・・」と無限に続く数を「小数」と呼ばないとするならば、分数の国には1/3があって、小数の国にはそれに対応する数がないことになる。よって、分数の国の方が広い」

と。

 

実は、「問い」に対する答は、「小数とは何か？」という定義によって変わってきます。

小学校の範囲では、0.333や0.33333333など、どこか有限の位で打ち切った数のことを「小数」という、と、はじめに習います。この定義では、上で考えたように、

小数の国＜分数の国

という広さ関係になります。

しかし、すぐに0.33333・・・といった数が登場します。「・・・」がくせもので、無限に続くことを意味します。もしこれを小数の仲間に含めるとすれば、

小数の国＝分数の国

という関係になります。（どちらにも、お互いに対応する数が存在する）

さて、小数と言えば、0.333ないし、0.333・・・のようなパターンだけでしょうか？

たとえば、1/7を考えてみます。

1/7＝1÷7＝0.142857142857・・・

これは、1、4、2、8、5、7が繰り返しています。0.333・・・のような、１つの数が繰り返す場合だけでなく、このようにいくつかの「数の束」が繰り返す場合もあります。

7で割った場合は大変に面白いので、ついでに他の場合も見ていきましょう。

2/7＝0.285714285714・・・

3/7＝0.428571□□□□□□・・・

さて、ここで気付くことがあります。それは、2/7も、3/7も、やはり「1、4、2、8、5、7」が「ずれたところからまた同じようにならんでいる」ということです。

では、4/7だと、どうなるでしょうか。これは次の数が予想できるでしょうか。

4/7＝0.5□□□□□・・・

そうです。1、4、2、8、5、7の並びを見れば、「5の次は7」と予想できます。ということは、

0.5 7 14278 5・・・

となります。

では、小数は、このような数だけでしょうか？　他には考えられないでしょうか？　もしないのだとしたら、最初の「小数の国の方が広い」という直感は、間違いだと言えるでしょうか？

そこで、円周率を思い出してください。

この数は、実は「無限に続く」だけでなく、「その並び方も無限にばらばら」であるような数なのです。また、そのような数は、一辺の長さが１の正方形の対角線の長さ（√２）など、「無数」に存在します。

一方、分数ではどんなにがんばっても、そのような数を表すことはできません。

ということは、その数がいる分、小数の国の方が「広い」ことになります。

まとめると、次のようになります。

１）小数＜分数　0.333など、有限打ち切りの数を「小数」と呼ぶ場合

２）小数＝分数　0.333・・・（＝1/3）や0.142857・・・（＝1/7）など、「有限」の長さのパターンが「無限」に繰り返す数も、「小数」に含める場合

３）小数＞分数　3.141592・・・といった、「無限」の長さのパターン（つまり不規則な並び）が無限に続く数も、「小数」に含める場合（この時の小数を「実数」といいます）

 

（「その２」へ続く）