浅野です。
Kさんは引き続き三角比の範囲の練習をしていました。
前回は、図を描くのが難しいと、自分の課題を明確にしてくれていましたが、今回は式を立てられても計算ができないと、これまた正確に自分の弱点を把握してくれていました。
特にtan（正接）の計算では、二重分数や有理化の計算がややこしい場合があります。どちらも分数については分子と分母も両方に同じ数をかけるのが基本です。
三角比に限らず、数学的なセンスがある人ほど式を立てたら答えが出るはずなのであとの計算を省略しがちですが、意外と計算ができない場合があります。そしてその計算に本質が含まれる（この式だと実数の範囲に解はないなど）こともあるので、最後の手順まできっちりと詰めるということが大切です。
福西先生、山下先生、いつもコメントありがとうございます。
このときしていたのは、ご推察の通り福西先生が例として挙げられているようなものです。二重根号はまだ出てきていませんが、いつ登場してもおかしくありません。
＞単に、√2などが無理数だから、その無理数を有理数にする（つまりルートをほどく）ことが、有理化ですね。
だから「分母の有理化」と言って、別に分子は有理化していないわけで…長年の誤解が解けました（笑）。
私もなぜ有理化をしなければいけないのかずっと疑問に思ってきました。というのも、1/√2と√2/2を比べると前者のほうがすっきりしているように感じられますから。どちらにせよ、そもそも無理な数なのだから仕方ないのですね。
＞タンジェントというのはラテン語のタンゴという単語（失礼！）の現在分詞ですね？ということは、数学のタンジェントは「接している」という概念と関係している？
やはりそのようです。以下の参考サイトを見つけました。
http://www.alc.co.jp/eng/vocab/etm-cl/etm_cl098.html
その手の話としては、function（y=f(x)のfはこの頭文字）の日本語訳が、もともとは「函数」だったと聞いたことがあります。自動販売機のように、内部はよくわからなくとも、函（はこ）の中に何かを入れると、別の何かが出てくるようなイメージです。現在の「関数」よりイメージが湧きやすいかもしれません。
tango の語源について、アルクのページをご紹介いただき、ありがとうございました。そこに contact を例にあげていて、tact （ふれる）と書いていますが、tango の完了分詞が tactum ということで、tact はそこからできた言葉でしょう。tact を含んだ語となるといっぱい見つかります。自分でも、HPにこのネタで書いていたのでした（笑）。我田引水？
http://www.kitashirakawa.jp/taro/eigo53.html