福西です。冬学期の授業を思い出しながら書いています。
この日（2/20）は、以下の問題を１時間考え続けました。
問い：「正100角形の対角線の本数はいくらか？」
（Ｋa君の計算用紙）
さっそく手を動かして、３角形から考えていきました。
左は６角形で考察しているところ。右は８角形。
６角形は、３＋３＋２＋１＝９本、
７角形は、４＋４＋３＋２＋１＝１４本、
８角形は、５＋５＋４＋３＋２＋１＝２０本、と分かりました。
最初は、数えもれや、数えすぎに試行錯誤が見られましたが、注意しながら引いていると、じきに、「ムダなく、ムラなく」数え上げる方法が見つかりました。
「これって（頂点が隣に移るごとに）、対角線が１本ずつ減っていってないか？」
と気づいてくれたからです。それがまず、最初の手ごたえでした。その時の二人の顔が、まるで強敵の「弱点」を見つけたかのように、「ニヤリ」としたのが印象的でした。
そのあと、角を１つ（あるいは２つ）ずつ増やしていって「あたり」を付けて考えていくことで、じきに法則性そのものが見えてきました。
「そうか！ ６角形やったら、３＋３＋２＋１になる。だって、最初の『３』というのは、６角形の『６』から３を引いた数なんや」と生徒。
「その『３』というのは、どっから出てきたん？」と私。
「だって、対角線は、６つ点があるうちの、自分と、その両隣の点を除いた点に引けるから。つまり、自分とその両隣というのが、『３』で、それを引いた数が、最初の点から引ける対角線の本数になる」と生徒。
なるほどです。そのように、自分で理屈を説明するところに嬉々としてくれる様子が、実に頼もしいなと感じました。
ここで私からは、「３＋３＋２＋１」や「４＋４＋３＋２＋１」となるのは分かったけど、最初だけ、３＋３＋・・・、４＋４・・・と、同じ数を２回数えるのが不思議だなあ、と付け加えました。それは（私も含めて）クラスみんなの不思議でした。
対角線の数
３角形 ０ （対角線は引けないので、０本になります）
４角形 ２ （おなじみの「ばってん」の形で２本になります）
５角形 ５ （注：対角線は３本ではなく、「星」の形で５本になります）
６角形 ９
７角形 １４
８角形 ２０ （このあたりから、対角線を引くコツがわかってきました）
９角形 ２７ （このあたりから、俄然、ある規則性、法則性が見えてきました）
・・・
このように、いきなり１００角形で考え出さずに、単純なところから攻めていったのが、ミソだなと思います。難しいときは単純なところから考える。あるいは極端な例で考える。この考え「方」自体は、問題が変わっても通用する方法です。だんだんとそうした「パターン」に慣れてきたことを感じました。
（その２に続きます）
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